Question

2．已知$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{2b}$+$\frac{1}{3c}$=1，求证：a+2b+3c≥9．

Answer 1

分析 根据a+2b+3c=（a+2b+3c）（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{2b}$+$\frac{1}{3c}$）展开，利用基本不等式证明它大于或等于9．

解答 证明：由a，b，c∈R，且$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{2b}$+$\frac{1}{3c}$=1，
∴a+2b+3c=（a+2b+3c）（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{2b}$+$\frac{1}{3c}$）
=1+$\frac{2b}{a}$+$\frac{3c}{a}$+$\frac{a}{2b}$+1+$\frac{3c}{2b}$+$\frac{a}{3c}$+$\frac{2b}{3c}$+1
=3+$\frac{2b}{a}$+$\frac{a}{2b}$+$\frac{3c}{a}$+$\frac{a}{3c}$+$\frac{3c}{2b}$+$\frac{2b}{3c}$≥3+6=9，当且仅当 $\frac{2b}{a}$=$\frac{a}{2b}$=$\frac{3c}{a}$=$\frac{a}{3c}$=$\frac{3c}{2b}$=$\frac{2b}{3c}$=1时，等号成立．
所以a+2b+3c≥9．
不等式成立．

点评 本题主要考查带有绝对值的函数的值域，基本不等式在最值问题中的应用，属于中档题．