Question

4．已知正项数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₂a_n=S₁+S_n对一切正整数n都成立．
（1）求a₁，a₂的值；
（2）若数列{$\frac{{a}_{1}}{（n+2）lo{g}_{2}{a}_{n+1}}$}的前n项和为T_n，求证：T_n＜$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 （1）由于a₂a_n=S₁+S_n对一切正整数n都成立，分别令n=1，2即可得出；
（2）a₂a_n=S₁+S_n化为：S_n=2a_n-1，利用递推式与等比数列的通项公式可得：a_n=2^n-1．于是$\frac{{a}_{1}}{（n+2）lo{g}_{2}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$．利用“裂项求和”即可得出．

解答 （1）解：∵a₂a_n=S₁+S_n对一切正整数n都成立，
∴分别令n=1，2，可得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{2}{a}_{1}={a}_{1}+{a}_{1}}\\{{a}_{2}{a}_{2}={2a}_{1}+{a}_{2}}\end{array}\right.$，a_n＞0，解得a₁=1，a₂=2．
（2）证明：a₂a_n=S₁+S_n化为：S_n=2a_n-1，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（2a_n-1）-（2a_n-1-1），化为a_n=2a_n-1．
∴数列{a_n}是等比数列，首项为1，公比为2．
∴a_n=2^n-1．
∴$\frac{{a}_{1}}{（n+2）lo{g}_{2}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（n+2）lo{g}_{2}{2}^{n}}$=$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$．
∴T_n=$\frac{1}{2}$$[（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{4}）$+$（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}）$+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）]$
=$\frac{1}{2}（1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）$＜$\frac{1}{2}×\frac{3}{2}$=$\frac{3}{4}$．
∴T_n＜$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查了递推式的应用、“裂项求和”、不等式的证明，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．