Question

17．已知e是自然对数的底数，F（x）=2e^x-1+x+lnx，f（x）=a（x-1）+3．
（1）求曲线y=F（x）在点（1，F（1））处的切线方程；
（2）当a≤4，x≥1时，求证：F（x）≥f（x）．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，计算F（1），F′（1），代入切线方程即可；
（2）设H（x）=F（x）-f（x），求出函数的导数，得到函数H（x）的单调区间，求出其最小值，从而证出结论．

解答 解：（1）∵F（x）=2e^x-1+x+lnx=2e^-1e^x+x+lnx，
∴F′（x）=2e^-1e^x+1+$\frac{1}{x}$，F（1）=3，F′（1）=4，
∴y=F（x）在点（1，F（1））处的切线方程为y-3=4（x-1），
即4x-y-1=0．
（2）证明：设H（x）=F（x）-f（x），
则$H'（x）=2{e^{x-1}}+1+\frac{1}{x}-a$，
设$h（x）=2{e^{x-1}}+1+\frac{1}{x}-a$，
则$h'（x）=2{e^{x-1}}-\frac{1}{x^2}$．
∵x≥1，∴$2{e^{x-1}}≥2，-\frac{1}{x^2}≥-1，h'（x）≥1$，
∴h（x）在[1，+∞）内单调递增，
∴当x≥1时，h（x）≥h（1），
即H'（x）≥4-a，
∵a≤4时，∴H'（x）≥4-a≥0，
∴当a≤4时，H（x）在[1，+∞）内单调递增，
∴当a≤4，x≥1时，H（x）≥H（1），
即F（x）≥f（x）．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及切线方程问题，是一道中档题．