Question

7．如图，四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，△PAB和△PAD都是边长为1的正三角形，DC=2，E为DC的中点．
（I）求证：PA⊥BD；
（Ⅱ）求直线PE与平面PDB所成角的大小．

Answer 1

分析 （I）连接AE，与BD交于O，连接PO，证明：BD⊥平面PAE，即可证明PA⊥BD；
（Ⅱ）由（I）可知EO⊥平面PDB，则∠EPO为直线PE与平面PDB所成角，即可求直线PE与平面PDB所成角的大小

解答 （I）证明：如图所示，连接AE，与BD交于O，
连接PO，则
∵四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形，AB=AD=1，
∴ABED是正方形，
∴AE⊥BD，BO=OD
∵△PAB和△PAD都是边长为1的正三角形，
∴PB=PD，
∴PO⊥BD，
∵PO∩AE=O，
∴BD⊥平面PAE，
∵PA?平面PAE，
∴PA⊥BD；
（Ⅱ）解：由（I）可知EO⊥平面PDB，则∠EPO为直线PE与平面PDB所成角．
△PBD中，PB=PD=1，DB=$\sqrt{2}$，∴PB⊥PD，∴PO=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵EO=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴∠EPO=45°，
∴直线PE与平面PDB所成角为45°．

点评 本题考查的知识点是直线与平面所成的角，直线与平面垂直的判定与性质，熟练掌握线面垂直的判定定理是解题的关键．