Question

14．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积是52π．

Answer 1

分析 由三视图知几何体为三棱柱，根据几何体的特征得外接球的球心为三棱锥上、下底面中心连线的中点，由勾股定理，求出底面三角形外接圆的半径和球的半径，代入球的表面积公式计算即可．

解答 解：根据三视图得该几何体是高为4的直三棱柱，
如图所示：三棱柱ABC-DEF，且底面ABC是等腰三角形，
可得该几何体外接球的外接球球心为上、下底面中心的连线段的中点，
设M是底边BC的中点，设外接球球心为0点，上底面中心为H，△ABC的外接圆的半径为r，且BC=4$\sqrt{2}$，AM=4，OH=2，
在RT△CHM中，CH=r，MH=4-r，CM=2$\sqrt{2}$，
又CH²=CM²+MH²，∴${r}^{2}=（4-r）^{2}+（2\sqrt{2}）^{2}$，解得r=3，
在Rt△AHO中，HA=r=3，
∴AO=$\sqrt{A{H}^{2}+O{H}^{2}}$=$\sqrt{9+4}$=$\sqrt{13}$，即外接球半径R=$\sqrt{13}$
∴该几何体外接球的表面积为S=4πR²=52π，
故答案为：52π．

点评 本题考查由几何体的三视图求它的外接球的表面积，求出三棱柱的外接球半径是解题的关键，属于中档题．