Question

3．已知双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1 （a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=$\frac{\sqrt{5}}{2}$x，且与椭圆$\frac{{x}^{2}}{12}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1有公共焦点，则C的方程为（　　）

• A． $\frac{{x}^{2}}{8}$-$\frac{{y}^{2}}{10}$=1
• B． $\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{5}$=1
• C． $\frac{{x}^{2}}{5}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1
• D． $\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1

Answer 1

分析 求出椭圆的焦点坐标，得到双曲线的焦点坐标，利用双曲线的渐近线方程，求出双曲线实半轴与虚半轴的长，即可得到双曲线方程．

解答 解：椭圆$\frac{{x}^{2}}{12}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的焦点坐标（±3，0），
则双曲线的焦点坐标为（±3，0），可得c=3，
双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1 （a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=$\frac{\sqrt{5}}{2}$x，
可得$\frac{b}{a}=\frac{\sqrt{5}}{2}$，即$\frac{{c}^{2}-{a}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{5}{4}$，可得$\frac{c}{a}$=$\frac{3}{2}$，解得a=2，b=$\sqrt{5}$，
所求的双曲线方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{5}$=1．
故选：B．

点评 本题考查椭圆与双曲线的简单性质的应用，双曲线方程的求法，考查计算能力．