Question

8．a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：
①当直线AB与a成60°角时，AB与b成30°角；
②当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角；
③直线AB与a所成角的最小值为45°；
④直线AB与a所成角的最小值为60°；
其中正确的是②③．（填写所有正确结论的编号）

Answer 1

分析 由题意知，a、b、AC三条直线两两相互垂直，构建如图所示的边长为1的正方体，|AC|=1，|AB|=$\sqrt{2}$，斜边AB以直线AC为旋转轴，则A点保持不变，B点的运动轨迹是以C为圆心，1为半径的圆，以C坐标原点，以CD为x轴，CB为y轴，CA为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果．

解答 解：由题意知，a、b、AC三条直线两两相互垂直，画出图形如图，
不妨设图中所示正方体边长为1，
故|AC|=1，|AB|=$\sqrt{2}$，
斜边AB以直线AC为旋转轴，则A点保持不变，
B点的运动轨迹是以C为圆心，1为半径的圆，
以C坐标原点，以CD为x轴，CB为y轴，CA为z轴，建立空间直角坐标系，
则D（1，0，0），A（0，0，1），直线a的方向单位向量$\overrightarrow{a}$=（0，1，0），|$\overrightarrow{a}$|=1，
直线b的方向单位向量$\overrightarrow{b}$=（1，0，0），|$\overrightarrow{b}$|=1，
设B点在运动过程中的坐标中的坐标B′（cosθ，sinθ，0），
其中θ为B′C与CD的夹角，θ∈[0，2π），
∴AB′在运动过程中的向量，$\overrightarrow{A{B}^{'}}$=（cosθ，sinθ，-1），|$\overrightarrow{A{B}^{'}}$|=$\sqrt{2}$，
设$\overrightarrow{A{B}^{'}}$与$\overrightarrow{a}$所成夹角为α∈[0，$\frac{π}{2}$]，
则cosα=$\frac{|（-cosθ，-sinθ，1）•（0，1，0）|}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow{A{B}^{'}}|}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$|sinθ|∈[0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]，
∴α∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]，∴③正确，④错误．
设$\overrightarrow{A{B}^{'}}$与$\overrightarrow{b}$所成夹角为β∈[0，$\frac{π}{2}$]，
cosβ=$\frac{|\overrightarrow{A{B}^{'}}•\overrightarrow{b}|}{|\overrightarrow{A{B}^{'}}|•|\overrightarrow{b}|}$=$\frac{|（-cosθ，sinθ，1）•（1，0，0）|}{|\overrightarrow{b}|•|\overrightarrow{A{B}^{'}}|}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$|cosθ|，
当$\overrightarrow{A{B}^{'}}$与$\overrightarrow{a}$夹角为60°时，即α=$\frac{π}{3}$，
|sinθ|=$\sqrt{2}cosα$=$\sqrt{2}cos\frac{π}{3}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵cos²θ+sin²θ=1，∴cosβ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$|cosθ|=$\frac{1}{2}$，
∵β∈[0，$\frac{π}{2}$]，∴β=$\frac{π}{3}$，此时$\overrightarrow{A{B}^{'}}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为60°，
∴②正确，①错误．
故答案为：②③．

点评 本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．