Question

15．已知函数f（x）=|x+1|-|x-2|．
（1）求不等式f（x）≥1的解集；
（2）若不等式f（x）≥x²-x+m的解集非空，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由于f（x）=|x+1|-|x-2|=$\left\{\begin{array}{l}{-3，x＜-1}\\{2x-1，-1≤x≤2}\\{3，x＞2}\end{array}\right.$，解不等式f（x）≥1可分-1≤x≤2与x＞2两类讨论即可解得不等式f（x）≥1的解集；
（2）依题意可得m≤[f（x）-x²+x]_max，设g（x）=f（x）-x²+x，分x≤1、-1＜x＜2、x≥2三类讨论，可求得g（x）_max=$\frac{5}{4}$，从而可得m的取值范围．

解答 解：（1）∵f（x）=|x+1|-|x-2|=$\left\{\begin{array}{l}{-3，x＜-1}\\{2x-1，-1≤x≤2}\\{3，x＞2}\end{array}\right.$，f（x）≥1，
∴当-1≤x≤2时，2x-1≥1，解得1≤x≤2；
当x＞2时，3≥1恒成立，故x＞2；
综上，不等式f（x）≥1的解集为{x|x≥1}．
（2）原式等价于存在x∈R使得f（x）-x²+x≥m成立，
即m≤[f（x）-x²+x]_max，设g（x）=f（x）-x²+x．
由（1）知，g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{-x}^{2}+x-3，x≤-1}\\{{-x}^{2}+3x-1，-1＜x＜2}\\{{-x}^{2}+x+3，x≥2}\end{array}\right.$，
当x≤-1时，g（x）=-x²+x-3，其开口向下，对称轴方程为x=$\frac{1}{2}$＞-1，
∴g（x）≤g（-1）=-1-1-3=-5；
当-1＜x＜2时，g（x）=-x²+3x-1，其开口向下，对称轴方程为x=$\frac{3}{2}$∈（-1，2），
∴g（x）≤g（$\frac{3}{2}$）=-$\frac{9}{4}$+$\frac{9}{2}$-1=$\frac{5}{4}$；
当x≥2时，g（x）=-x²+x+3，其开口向下，对称轴方程为x=$\frac{1}{2}$＜2，
∴g（x）≤g（2）=-4+2+3=1；
综上，g（x）_max=$\frac{5}{4}$，
∴m的取值范围为（-∞，$\frac{5}{4}$]．

点评 本题考查绝对值不等式的解法，去掉绝对值符号是解决问题的关键，突出考查分类讨论思想与等价转化思想、函数与方程思想的综合运用，属于难题．