Question

18．已知函数 f（x）=e^x（e^x-a）-a²x．
（1）讨论 f（x）的单调性；
（2）若f（x）≥0，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先求导，再分类讨论，根据导数和函数的单调性即可判断，
（2）根据（1）的结论，分别求出函数的最小值，即可求出a的范围．

解答 解：（1）f（x）=e^x（e^x-a）-a²x=e^2x-e^xa-a²x，
∴f′（x）=2e^2x-ae^x-a²=（2e^x+a）（e^x-a），
①当a=0时，f′（x）＞0恒成立，
∴f（x）在R上单调递增，
②当a＞0时，e^x-a＞0，令f′（x）=0，解得x=lna，
当x＜lna时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，
当x＞lna时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，
③当a＜0时，2e^x+a＞0，令f′（x）=0，解得x=ln（-$\frac{a}{2}$），
当x＜ln（-$\frac{a}{2}$）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，
当x＞ln（-$\frac{a}{2}$）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，
综上所述，当a=0时，f（x）在R上单调递增，
当a＞0时，f（x）在（-∞，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增，
当a＜0时，f（x）在（-∞，ln（-$\frac{a}{2}$））上单调递减，在（ln（-$\frac{a}{2}$），+∞）上单调递增，
（2）①当a=0时，f（x）=e^2x＞0恒成立，
②当a＞0时，由（1）可得f（x）_min=f（lna）=-a²lna≥0，
∴lna≤0，
∴0＜a≤1，
③当a＜0时，由（1）可得f（x）_min=f（ln（-$\frac{a}{2}$））=$\frac{3{a}^{2}}{4}$-a²ln（-$\frac{a}{2}$）≥0，
∴ln（-$\frac{a}{2}$）≤$\frac{3}{4}$，
∴-2${e}^{\frac{3}{4}}$≤a＜0，
综上所述a的取值范围为[-2${e}^{\frac{3}{4}}$，1]

点评 本题考查了导数和函数的单调性和函数最值的关系，以及分类讨论的思想，考查了运算能力和化归能力，属于中档题