Question

12．已知向量$\overrightarrow{a}$=（cosx，sinx），$\overrightarrow{b}$=（3，-$\sqrt{3}$），x∈[0，π]．
（1）若$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$，求x的值；
（2）记f（x）=$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$，求f（x）的最大值和最小值以及对应的x的值．

Answer 1

分析 （1）根据向量的平行即可得到tanx=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，问题得以解决，
（2）根据向量的数量积和两角和余弦公式和余弦函数的性质即可求出

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{a}$=（cosx，sinx），$\overrightarrow{b}$=（3，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$，
∴-$\sqrt{3}$cosx=3sinx，
∴tanx=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∵x∈[0，π]，
∴x=$\frac{5π}{6}$，
（2）f（x）=$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$=3cosx-$\sqrt{3}$sinx=2$\sqrt{3}$（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosx-$\frac{1}{2}$sinx）=2$\sqrt{3}$cos（x+$\frac{π}{6}$），
∵x∈[0，π]，
∴x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，
∴-1≤cos（x+$\frac{π}{6}$）≤$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
当x=0时，f（x）有最大值，最大值3，
当x=$\frac{5π}{6}$时，f（x）有最小值，最小值-2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了向量的平行和向量的数量积以及三角函数的化简和三角函数的性质，属于基础题