Question

设n∈N^*，a_n=5ⁿ+2×3^n-1+1
（1）当n=1，2，3，4时，计算a_n的值，你对{a_n}值有何猜想？
（2）请用数学归纳法证明你的猜想．

Answer 1

考点：数学归纳法

专题：综合题,点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）当n=1，2，3，4时，代入计算a_n的值，n∈N^*，猜想a_n=5ⁿ+2×3^n-1+1能被8整除；
（2）利用数学归纳法证5ⁿ+2×3^n-1+1（n∈N^*）能被8整除．

解答： 解：（1）当n=1时，a₁=5¹+2×3⁰+1=8，当n=2时，a₂=5²+2×3¹+1=32，当n=3时，a₃=5³+2×3²+1=144，当n=4时，a₄=5⁴+2×3³+1=680，
∴n∈N^*，a_n=5ⁿ+2×3^n-1+1能被8整除；
（2）1°当n=1时已证；
2°假设当n=k（k∈N^*）时命题成立，即5^k+2×3^k-1+1能被8整除．
则当n=k+1时，5^k+1+2×3^k+1=5•5^k+6•3^k-1+1=（5^k+2•3^k-1+1）+4（5^k+3^k-1），
∵5^k+2×3^k-1+1能被8整除，而5^k+3^k-1为偶数，
∴4（5^k+3^k-1）也能被8整除．即当n=k+1时命题也成立．
∴n∈N^*，a_n=5ⁿ+2×3^n-1+1能被8整除．

点评：本题主要考查数学归纳法，数学归纳法的基本形式：设P（n）是关于自然数n的命题，若1°P（n₀）成立（奠基），2°假设P（k）成立（k≥n₀），可以推出P（k+1）成立（归纳），则P（n）对一切大于等于n₀的自然数n都成立．