Question

已知函数f（x）=2

3

sinxcosx+msin²x，若角α的终边与单位圆（圆心为坐标原点）交于点P（

3

2

，-

1

2

），
且f（α）=-2．
（Ⅰ）求实数m的值；
（Ⅱ）求f（x）的最小正周期和x∈[-

π

4

，

π

4

]时的值域．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）由已知先求sinα=-

1

2

，cosα=

3

2

，代入已知即可求实数m的值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f（x）=2sin（2x+

π

6

）-1，从而根据正弦函数的性质即可求f（x）的最小正周期和x∈[-

π

4

，

π

4

]时的值域．

解答： 解：（Ⅰ）∵若角α的终边与单位圆（圆心为坐标原点）交于点P（

3

2

，-

1

2

），
∴sinα=-

1

2

，cosα=

3

2

∵f（α）=2

3

sinαcosα+msin²α=2

3

×(-

1

2

)×

3

2

+m×

1

4

=-2，
∴可解得：m=-2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f（x）=

3

sin2x+cos2x-1=2sin（2x+

π

6

）-1
∴T=

2π

2

=π
∵x∈[-

π

4

，

π

4

]
∴2x+

π

6

∈[-

π

3

，

2π

3

]
∴sin（2x+

π

6

）∈[-

3

2

，1]
∴2sin（2x+

π

6

）-1∈[-

3

-1，1]

点评：本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的周期性及其求法，三角函数的值域的解法，综合性强，属于中档题．