Question

已知函数f（x）=|2x-a|，a是正常数．
（1）如果函数f（x+2）是偶函数，求实数a的值
（2）如果函数f（x+2）在（2，+∞）上是单调函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：奇偶性与单调性的综合

专题：函数的性质及应用

分析：（1）如果函数f（x+2）是偶函数，得到函数（x）关于x=2对称，建立条件关系即可求实数a的值
（2）函数f（x+2）在（2，+∞）上是单调函数，得到f（x）在（4，+∞）上是单调函数，结合绝对值函数的单调性的性质进行求解即可．

解答： 解：（1）函数f（x）=|2x-a|=2|x-

a

2

|，则对称轴为x=

a

2

，
如果函数f（x+2）是偶函数，将函数向右平移2个单位得到f（x），在函数f（x）关于x=2对称，
即

a

2

=2，即a=4．
（2）若函数f（x+2）在（2，+∞）上是单调函数，
则函数f（x）在（4，+∞）上是单调函数，
∵函数f（x）=|2x-a|=2|x-

a

2

|的增区间为[

a

2

，+∞），
∴满足4≥

a

2

，
解得a≤8，
即实数a的取值范围是（-∞，8]．

点评：本题主要考查函数对称性和单调性的判断和应用，根据绝对值函数的单调性以及函数平移之间的关系是解决本题的关键．