Question

15．（1）i是虚数单位，若复数z=$\frac{15-5i}{（2+i）^{2}}$，且ω=z²+3$\overline{z}$-1，求ω在复平面中所对应的点的坐标；
（2）i是虚数单位，若复数z满足方程z•$\overline{z}$-2zi=1+2i，求复数z．

Answer 1

分析 （1）利用复数的运算法则、几何意义即可得出．
（2）利用复数的运算法则、复数相等即可得出．

解答 解：（1）复数z=$\frac{15-5i}{（2+i）^{2}}$=$\frac{15-5i}{3+4i}$=$\frac{（15-5i）（3-4i）}{（3+4i）（3-4i）}$=$\frac{25-75i}{25}$=1-3i，
∴ω=z²+3$\overline{z}$-1=（1-3i）²+3（1+3i）-1=-6+3i，
∴ω在复平面中所对应的点的坐标为（-6，3）．
（2）设z=a+bi（a，b∈R），则$z•\overline{z}$=a²+b²，
即a²+b²+2b-2ai=1+2i，
由$\left\{\begin{array}{l}{-2a=2}\\{{a}^{2}+{b}^{2}+2b=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=0}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
∴z=-1或z=-1-2i．

点评 本题考查了复数的运算法则、复数相等、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．