Question

3．如图，四棱锥P-ABCD中，已知PA⊥面ABCD，E为PD的中点，AD∥BC，AB⊥AD，AD=2AB=2BC．求证：
（1）CE∥面PAB；
（2）DC⊥面PAC．

Answer 1

分析 （1）取PA的中点为G，连接BG、EG，得到四边形BGEC为平行四边形，所以EC∥BG；
（2）因为AB⊥AD，BC∥AD，AB=BC，AD=2BC，易证得CD⊥AC．判断CD⊥平面PAC．

解答 证明：（1）取PA的中点为G，连接BG、EG，则EG∥$\frac{1}{2}$AD，EG=$\frac{1}{2}$AD，
又BC∥AD，BC=$\frac{1}{2}$AD，所以EG∥BC，EG=BC，四边形BGEC为平行四边形．
所以EC∥BG．
又EC?平面PAB，BG?平面PAB，
故EC∥平面PAB．
（2）因为AB⊥AD，BC∥AD，AB=BC，AD=2BC，易证CD⊥AC．
因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CD，
因为PA∩AC=A，所以CD⊥平面PAC．

点评 本题考查了线面平行的判定定理以及线面垂直的判定定理的运用关键是熟练定理和性质的运用．