Question

15．已知命题p：实数m满足m²-7ma+12a²＜0（a＞0），命题q：满足方程$\frac{x^2}{m-1}$+$\frac{y^2}{2-m}$=1表示焦点在y轴上的椭圆，若￢p是￢q的必要而不充分条件，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 根据命题p、q分别求出m的范围，再根据p是q的充分不必要条件列出关于a的不等式组，解不等式组即可

解答 解：由m²-7am+12a²＜0（a＞0），则3a＜m＜4a
即命题p：3a＜m＜4a，
实数m满足方程$\frac{x^2}{m-1}$+$\frac{y^2}{2-m}$=1表示焦点在y轴上的椭圆，
则$\left\{\begin{array}{l}{2-m＞0}\\{m-1＞0}\\{2-m＞m-1}\end{array}\right.$，
即，解得1＜m＜$\frac{3}{2}$，
因为￢p是￢q的必要而不充分条件，所以p是q的充分不必要条件，
则$\left\{\begin{array}{l}{3a≥1}\\{4a≤\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
解得$\frac{1}{3}$≤a≤$\frac{3}{8}$，
故实数a的取值范围为：[$\frac{1}{3}$，$\frac{3}{8}$]．

点评 本题考查充分条件、必要条件，一元二次不等式的解法，根据不等式的性质和椭圆的性质求出p，q的等价条件是解决本题的关键．