Question

10．下列说法中：
①若f（x）=ax²+（2a+b）x+2（其中x∈[2a-1，a+4]）是偶函数，则实数b=2；
②f（x）=$\sqrt{2008-{x}^{2}}$+$\sqrt{{x}^{2}-2008}$既是奇函数又是偶函数；
③已知f（x）是定义在R上的奇函数，若当x∈[0，+∞）时，f（x）=x（1+x），则当x∈R时，f（x）=x（1+|x|）；
④已知f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对任意的x，y∈R都满足f（x•y）=x•f（y）+y•f（x），则f（x）是奇函数．
其中正确说法的序号是①②③④（注：把你认为是正确的序号都填上）．

Answer 1

分析 根据奇偶函数的定义，逐一分析四个结论的真假，综合讨论结果，可得答案．

解答 解：下列说法中：
①若f（x）=ax²+（2a+b）x+2（其中x∈[2a-1，a+4]）是偶函数，
则2a-1+a+4=0，2a+b=0，
解得：a=-1，b=2；故正确
②f（x）=$\sqrt{2008-{x}^{2}}$+$\sqrt{{x}^{2}-2008}$=0，（x∈{-$\sqrt{2008}$，$\sqrt{2008}$}），
即满足f（-x）=-f（x）恒成立，也满足f（-x）=f（x）恒成立，
故既是奇函数又是偶函数；故正确
③已知f（x）是定义在R上的奇函数，
若当x∈[0，+∞）时，f（x）=x（1+x），
则当x∈（-∞，0）时，f（x）=x（1-x），
则当x∈R时，f（x）=x（1+|x|）；故正确；
④已知f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对任意的x，y∈R都满足f（x•y）=x•f（y）+y•f（x），
由题意令x=y=1，可得f（1）=f（1）+f（1），
∴f（1）=0
令a=y=-1，可得f（1）=-f（-1）-f（-1），所以f（-1）=0；
令a=x，b=-1，所以f（-x）=x f（-1）-f（x）=-f（x）；
∴y=f（x）是奇函数． 故正确；
故答案为：①②③④

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了函数的奇偶性判断及应用，难度中档．