Question

18．已知函数f（x）=x²-2ax+a+2，a∈R．
（1）若方程f（x）=0有两个小于2的不等实根，求实数a的取值范围；
（2）若不等式f（x）≥-1-ax对任意x∈R恒成立，求实数a的取值范围；
（3）若函数f（x）在[0，2]上的最大值为4，求实数a的值．

Answer 1

分析 （1）根据二次函数的性质得到关于a的不等式组，解出即可；
（2）问题转化为x²-ax+a+3≥0对任意x∈R恒成立，根据△≤0，求出a的范围即可；
（3）求出函数的对称轴，通过讨论a的范围结合二次函数的性质，求出a的范围即可．

解答 解：（1）方程f（x）=0有两个小于2的不等实根
?$\left\{\begin{array}{l}△=4{a^2}-4（a+2）＞0\\ f（2）=4-4a+a+2＞0\\ a＜2\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}a＞2或a＜-1\\ a＜2\\ a＜2\end{array}\right.⇒a＜-1$；         （5分）
（2）由f（x）≥-1-ax得x²-2ax+a+2≥-1-ax⇒x²-ax+a+3≥0对任意x∈R恒成立，
则△=a²-4（a+3）≤0⇒a²-4a-12≤0⇒-2≤a≤6；        （10分）
（3）函数f（x）的对称轴为x=a，
则当a＜1时，函数在[0，2]上的最大值为：
$f（2）=4-4a+a+2=6-3a=4⇒a=\frac{2}{3}＜1$，符合条件；
当a≥1时，函数在[0，2]上的最大值为f（0）=a+2=4⇒a=2＞1，符合条件；
所以，所求实数a的值为$a=\frac{2}{3}$或a=2．                   （16分）

点评 本题考查了二次函数的性质，考查函数的单调性最值问题，考查分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．