Question

13．设方程2^x+x+2=0和方程log₂x+x+2=0的根分别为p和q，函数f （x）=（x+p）（x+q）+2，则f （2），f （0），f （3）的大小关系为f（3）＞f（2）=f（0）．

Answer 1

分析 把两个方程分别看作指数函数与直线y=-x-2的交点B和对数函数与直线y=-x-2的交点A的横坐标分别为p和q，而指数函数与对数函数互为反函数则关于y=x对称，求出AB的中点坐标得到p+q=-2；然后把函数f（x）化简后得到一个二次函数，对称轴为直线x=-$\frac{p+q}{2}$=1，所以得到f（2）=f（0）且根据二次函数的增减性得到f（2）和f（0）都小于f（3）得到答案．

解答 解：如图所示：
，
方程2^x+x+2=0和方程log₂x+x+2=0可以分别看作方程方程2^x=-x-2和方程log₂x=-x-2，
方程2^x+x+2=0和方程log₂x+x+2=0的根分别为p和q，
即分别为函数y=2^x与函数y=-x-2的交点B横坐标为p；y=log₂^x与y=-x-2的交点C横坐标为q．
由y=2^x与y=log₂^x互为反函数且关于y=x对称，所以BC的中点A一定在直线y=x上，
联立得 $\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y=-x-2}\end{array}\right.$，解得A点坐标为（-1，-1），
根据中点坐标公式得到 $\frac{p+q}{2}$=-1即p+q=-2，
则f（x）=（x+p）（x+q）+2=x²+（p+q）x+pq+2为开口向上的抛物线，
且对称轴为x=-$\frac{p+q}{2}$=1，
得到f（0）=f（2）且当x＞1时，函数为增函数，所以f（3）＞f（2），
综上，f（3）＞f（2）=f（0）
故答案为：f（3）＞f（2）=f（0）．

点评 此题是一道综合题，考查学生灵活运用指数函数、对数函数的图象与性质，要求学生掌握反函数的性质，会利用二次函数的图象与性质解决实际问题．