Question

已知各项均为正数的等比数列{a_n}满足：a₂₀₁₂=a₂₀₁₁+2a₂₀₁₀，若

am•an

=2a₁，则

1

m

+

5

n

的最小值为

 

．

Answer 1

考点：基本不等式在最值问题中的应用,等比数列的性质

专题：综合题,不等式的解法及应用

分析：由已知各项均为正数的等比数列{a_n}满足：a₂₀₁₂=a₂₀₁₁+2a₂₀₁₀，可求出公比q的值，再由

am•an

=2a₁，及通项公式即可求出m+n=4，进而再由基本不等式即可求出

1

m

+

5

n

的最小值．

解答： 解：设等比数列{a_n}的公比为q＞0，∵a₂₀₁₂=a₂₀₁₁+2a₂₀₁₀，∴a₂₀₁₁q=a₂₀₁₁+

2a2011

q

∵a₂₀₁₁＞0，∴q²-q-2=0，解得q=2，或q=-1，∵q＞0，∴q=-1应舍去，∴q=2．
∵

am•an

=2a₁，∴

a12×2m+n-2

=2a₁，解得m+n=4．
∴

1

m

+

5

n

=

1

4

（

1

m

+

5

n

）（m+n）=

1

4

×（6+

n

m

+

5m

n

）≥

1

4

(6+2

5

）=

3+ 5

2

．
当且仅当

n

m

=

5m

n

时取得最小值

3+ 5

2

．
故答案为：

3+ 5

2

．

点评：本题综合考查了等比数列的通项公式和基本不等式的性质，深刻理解以上知识和方法是解决问题的关键．