Question

已知

AB

=（1，x），

AC

=（x+2tanθ，y+1），且

AB

∥

AC

，其中θ∈（-

π

2

，

π

2

）．
（1）将y表示为x的函数，并求出函数的表达式y=f（x）
（2）若y=f（x）在x∈[-1，

3

]上为单调函数，求θ的取值范围；
（3）当θ∈[-

π

3

，

π

3

]时，y=f（x）在[-1，

3

]上的最小值为g（θ），求g（θ）的表达式．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,函数解析式的求解及常用方法,平面向量共线（平行）的坐标表示

专题：平面向量及应用

分析：由向量平行坐标间的关系，得到y与x的关系式，然后解答本题．

解答： 解：（1）因为

AB

=（1，x），

AC

=（x+2tanθ，y+1），且

AB

∥

AC

，其中θ∈（-

π

2

，

π

2

）．
所以y+1=x（x+2tanθ），即y=x²+2tanθx-1；
（2）由（1）可知，y=f（x）在x∈[-1，

3

]上为单调函数，即y=x²+2tanθx-1在x∈[-1，

3

]上为单调函数；
所以-tanθ≥

3

或者-tanθ≤-1，θ∈（-

π

2

，

π

2

），所以θ∈（-

π

2

，-

π

3

）或者θ∈（

π

4

，

π

2

）．
（3）当θ∈[-

π

3

，

π

3

]时，y=f（x）在[-1，

3

]上的最小值为g（θ），则-tanθ∈（-

3

，

3

），所以当对称轴x=-tanθ＜-1时，函数y=x²+2tanθx-1在x∈[-1，

3

]上为单调增函数，所以最小值为g（θ）=f（-1）=2tanθ；当x=-tanθ∈[-1，

3

]时，g（θ）=f（-tanθ）=-tan²θ-1，
所以g（θ）=

2tanθ，- π 3 ≤θ＜- π 4 -tan2θ-1，- π 4 ≤θ≤ π 3

．

点评：本题考查了向量平行的坐标关系以及与函数的单调性结合的求参数范围以及解析式的问题，属于中档题．