Question

已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，面A₁B₁C₁D₁中心为O₁．
（1）求证：DO₁∥面AB₁C；
（2）求异面直线DO₁与B₁C所成角．

Answer 1

考点：异面直线及其所成的角,直线与平面平行的判定

专题：平面向量及应用,空间位置关系与距离

分析：（1）建立如图所示的直角坐标系．利用向量垂直与数量积的关系求出平面AB₁C的法向量

n

，只要证明

DO1

•

n

=0即可；
（2）利用向量的夹角公式即可得出．

解答： 解：（1）证明：建立如图所示的直角坐标系．
设AB=2，O₁（1，1，2），A（2，0，0），B₁（2，2，2），
C（0，2，0）．

DO1

=（1，1，2），

AC

=（-2，2，0），

AB1

=（0，2，2）．
设平面AB₁C的法向量为

n

=（x，y，z），
则

n • AC =0 n • AB1 =0

，化为

-2x+2y=0 2y+2z=0

，令y=1，解得x=1，z=-1．
∴

n

=（1，1，-1），
∵

DO1

•

n

=1+1-2=0，∴

n

⊥

DO1

，
∵点D∉平面AB₁C，∴DO₁∥面AB₁C；
（2）

B1C

=（-2，0，-2），
cos＜

DO1

，

B1C

＞=

B1C • DO1

| B1C || DO1 |

=

-6

8 • 6

=-

3

2

，
∴＜

DO1

，

B1C

＞=150°，
∴异面直线DO₁与B₁C所成角为30°．

点评：本题考查了向量垂直与数量积的关系、线面垂直与线面平行的判定定理、异面直线所成的角，考查了空间想象能力，属于基础题．