Question

已知：函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x＞0时，f（x）＞0；对于任意的x，y∈[0，+∞），都有f（x+y）=f（x）+f（y），且f（1）=2，则不等式f（x）＜6的解集为

 

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Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：由题设条件对任意x₁、x₂在所给区间内比较f（x₂）-f（x₁）与0的大小即可，判断函数在[0，+∞）的单调性，根据f（1）=2和恒等式求出f（3）=6，再由偶函数的性质将不等式转化为f（|x|）＜f（3），再利用函数的单调性即可解得不等式的解集．

解答： 解：任取0≤x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0，
∵x＞0时，f（x）＞0，∴f（x₂-x₁）＞0，
又∵f（x+y）=f（x）+f（y），即f（x+y）-f（x）=f（y），
∴f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁）＞0，
∴f（x₂）＞f（x₁），
∴f（x）在[0，+∞）上是单调递增函数，．
由f（x+y）=f（x）+f（y）、f（1）=2得，
f（2）=f（1）+f（1）=4，则f（3）=f（1）+f（2）=6，
∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，
∴不等式f（x）＜6等价转化为f（|x|）＜f（3），
根据f（x）在[0，+∞）上是单调递增函数，
∴|x|＜3，解得-3＜x＜3，
则不等式f（x）＜6的解集为：（-3，3），
故答案为：（-3，3）．

点评：本题考点是抽象函数及其应用，及灵活利用所给的恒等式证明函数的单调性，考查了利用单调性解不等式问题．此类题要求答题者有较高的数学思辨能力，能从所给的条件中寻找到证明问题的关键点出来．属于中档题．