Question

已知圆C的方程为x²+y²=1，设E（2，0），过点E斜率为k的直线与圆C交x轴上方A、B两点，设f（k）=

1

2 1-3k2

S_△ABO，求函数f（k）的值域．

Answer 1

考点：直线与圆相交的性质

专题：直线与圆

分析：过点E（2，0）斜率为k的直线方程为y=k（x-2），联立

y=k(x-2) x2+y2=1

，得（k²+1）x²-4k²x+4k²-1=0，由弦长公式求出|AB|=2

1-3k2 k2+1

，由点到直线的距离公式求出O（0，0）到直线y=k（x-2）的距离d=

-2k

k2+1

，从而得到S_△ABO=

-2k 1-3k2

k2+1

，由此利用均值定理能求出f（k）的值域．

解答： 解：过点E（2，0）斜率为k的直线方程为y=k（x-2），
联立

y=k(x-2) x2+y2=1

，整理，得（k²+1）x²-4k²x+4k²-1=0，
∵过点E斜率为k的直线与圆C交x轴上方A、B两点，
∴k＜0，且△=（-4k²）²-4（k²+1）（4k²-1）＞0，
解得k＜-

5

5

，
设A（x1，y1 ），B（x₂，y₂），则x1+x2=

4k2

k2+1

，x1 x2=

4k2-1

k2+1

，
∴|AB|=

(1+k2)[( 4k2 k2+1 )2- 16k2-4 k2+1 ]

=2

1-3k2 k2+1

，
O（0，0）到直线y=k（x-2）的距离d=

|-2k|

k2+1

=

-2k

k2+1

，
∴S_△ABO=

1

2

•d•|AB|=

1

2

•

-2k

k2+1

•2

1-3k2 k2+1

=

-2k 1-3k2

k2+1

，
∴f（k）=

1

2 1-3k2

S_△ABO
=

1

2 1-3k2

•

-2k 1-3k2

k2+1

=

-k

k2+1

=

1

-k- 1 k

≤

1

2

．
又∵f（k）＞0，∴函数f（k）的值域是（0，

1

2

）．

点评：本题考查函数的值域的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意弦长公式、点到直线的距离公式的合理运用．