Question

15．已知f（x），g（x）都是定义在R上的函数，g（x）≠0，f（x）g′（x）＞f′（x）g（x），f（x）=a^x•g（x）（a＞0，a≠1），$\frac{f（1）}{g（1）}+\frac{f（-1）}{g（-1）}=\frac{5}{2}$，在有穷数列$\{\frac{f（n）}{g（n）}\}$（n=1，2…10）中，任意取正整数k（1≤k≤10），则前k项和大于$\frac{15}{16}$的概率是（　　）

• A． $\frac{1}{5}$
• B． $\frac{2}{5}$
• C． $\frac{3}{5}$
• D． $\frac{4}{5}$

Answer 1

分析 由已知条件推导出$\frac{f（x）}{g（x）}$=a^x，利用条件，结合导数的性质求出$\frac{f（x）}{g（x）}$=a^x是减函数，利用$\frac{f（1）}{g（1）}+\frac{f（-1）}{g（-1）}=\frac{5}{2}$，推导出a=$\frac{1}{2}$．从而得到有穷数列$\{\frac{f（n）}{g（n）}\}$为{（$\frac{1}{2}$）ⁿ}，再由等比数列的求和公式结合条件，解不等式可得k＞4，由古典概率公式能求出结果．

解答 解：∵f（x）=a^x•g（x）（a＞0且a≠1），
∴$\frac{f（x）}{g（x）}$=a^x，
又∵f′（x）g（x）＜f（x）g′（x），
∴（$\frac{f（x）}{g（x）}$）′=$\frac{f′（x）g（x）-f（x）g′（x）}{{g}^{2}（x）}$＜0，
∴$\frac{f（x）}{g（x）}$=a^x是减函数，
∴0＜a＜1，
∵$\frac{f（1）}{g（1）}+\frac{f（-1）}{g（-1）}=\frac{5}{2}$，
∴a¹+a^-1=$\frac{5}{2}$，解得a=$\frac{1}{2}$或a=2．
综上得a=$\frac{1}{2}$．
∴有穷数列$\{\frac{f（n）}{g（n）}\}$为{（$\frac{1}{2}$）ⁿ}．
∵数列$\{\frac{f（n）}{g（n）}\}$的前k项和大于$\frac{15}{16}$，
∴（$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}$）²}+…+（$\frac{1}{2}$）^k＞$\frac{15}{16}$，
即有$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{k}}）}{1-\frac{1}{2}}$＞$\frac{15}{16}$，
即为$\frac{1}{{2}^{k}}$＜$\frac{1}{16}$，解得k＞4，
即有k=5，6，…，10，
而n=1，2，…，10，
则前k项和大于$\frac{15}{16}$的概率是$\frac{6}{10}$=$\frac{3}{5}$．
故选：C．

点评 本题考查等比数列的前n项和公式的应用，巧妙地把指数函数、导数、数列融合在一起，考查构造法和运算能力，是一道好题．