Question

6．已知直线l：x-y+a=0，M（-2，0），N（-1，0），动点Q满足$\frac{|QM|}{|QN|}$=$\sqrt{2}$，动点Q的轨迹为曲线C．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）若直线l与曲线C交于不同的两点A，B，且满足$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0（其中O为坐标原点），求a的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用直接法，建立方程，即可求曲线C的方程；
（Ⅱ）若满足$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，则OA⊥OB，即△AOB为等腰直角三角形，则圆心O到直线l：x-y+a=0的距离d=$\frac{\sqrt{2}}{2}$r=1．

解答 解：（Ⅰ）设点Q（x，y），依题意知$\frac{|QM|}{|QN|}$=$\frac{\sqrt{（x+2）^{2}+{y}^{2}}}{\sqrt{（x+1）^{2}+{y}^{2}}}$=$\sqrt{2}$    …（3分）
整理得x²+y²=2，∴曲线C的方程为x²+y²=2．   …（6分）
（Ⅱ）若满足$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，则OA⊥OB，即△AOB为等腰直角三角形，
则圆心O到直线l：x-y+a=0的距离d=$\frac{\sqrt{2}}{2}$r=1，…（9分）
即$\frac{|a|}{\sqrt{2}}$=1，解得a=$±\sqrt{2}$．…（12分）

点评 本题考查利用直接法求轨迹方程，考查点到直线距离公式的运用，正确转化是关键．