Question

11．设不等式|x-4|-|2x-7|＞$\frac{1}{3}$（x-7）的解集为M．
（1）求M；
（2）证明：当a、b∈M时，|$\sqrt{ab}$-2|＜|2$\sqrt{a}$-$\sqrt{b}$|．

Answer 1

分析 （1）分类讨论解不等式，可得M；
（2）利用反证法，即可证明．

解答 （1）解：x＜3.5时，不等式化为4-x+2x-7＞$\frac{1}{3}$（x-7），解得x＞1，∴1＜x＜3.5；
3.5≤x＜4时，不等式化为4-x-2x+7＞$\frac{1}{3}$（x-7），解得x＜4，∴3.5≤x＜4；
x≥4时，不等式化为x-4-2x+7＞$\frac{1}{3}$（x-7），解得x＜4，无解；
综上所述，M={x|1＜x＜4}；
（2）证明：要证明|$\sqrt{ab}$-2|＜|2$\sqrt{a}$-$\sqrt{b}$|，
只要证明ab-4$\sqrt{ab}$+4＜4a-4$\sqrt{ab}$+b，
只要证明ab+4＜4a+b，
只要证明ab+4＜4a+b，
只要证明（a-1）（b-4）＜0，
∵a、b∈M={x|1＜x＜4}，∴结论成立．

点评 本题考查不等式的解法与证明，考查分析法的运用，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．