Question

3．已知变量x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x+y≥2}\\{x-2y+4≥0}\\{2x-y-4≤0}\end{array}\right.$，若x²+y²+2x≥k恒成立，则实数k的最大值为（　　）

• A． 40
• B． 9
• C． 8
• D． $\frac{7}{2}$

Answer 1

分析 已知x、y满足以下约束条件画出可行域，目标函数z=x²+y²+2x是可行域中的点（x，y）到原点的距离的平方减1，求出最小值，然后求解z的最大值．

解答 解：变量x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x+y≥2}\\{x-2y+4≥0}\\{2x-y-4≤0}\end{array}\right.$的可行域如图，
x²+y²+2x是点（x，y）到（-1，0）的距离的平方减1，
故最小值为点P到（-1，0）的距离的平方加1，z=x²+y²+2x的最小值为：$（\frac{-1-2}{\sqrt{2}}）^{2}-1$=$\frac{7}{2}$
若x²+y²+2x≥k恒成立，即$\frac{7}{2}$≥k．k的最大值为：$\frac{7}{2}$．
故选：D．

点评 此题主要考查简单的线性规划问题，是一道中档题，要学会画图．考查转化思想的应用．