Question

1．S_n是数列{a_n}的前n项和，S_n=3a_n-2a₁，a₃=$\frac{1}{4}$，b_n=a_nlna_n，则数列{b_n}的最小项是（　　）

• A． 第3项
• B． 第4项
• C． 第5项
• D． 第6项

Answer 1

分析 运用数列的递推式，结合等比数列的定义和通项公式，可得a_n，再由函数y=xlnx，求得导数和单调区间和最小值点，考虑数列{a_n}中与最值点的距离，找出较小的即可．

解答 解：∵S_n=3a_n-2a₁，∴n=1时，a₁=3a₁-2a₁，
n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=3a_n-2a₁-（3a_n-1-2a₁），化为：a_n=$\frac{3}{2}$a_n-1．
∵a₃=$\frac{1}{4}$，
∴a₂=$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{4}$=$\frac{1}{6}$，a₁=$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{6}$=$\frac{1}{9}$，
∴a_n=$\frac{1}{9}$×（$\frac{3}{2}$）^n-1，
由函数y=xlnx的导数为y′=1+lnx，
可得x＞$\frac{1}{e}$时，y′＞0，函数y递增；
0＜x＜$\frac{1}{e}$时，y′＜0，函数y递减．
即有函数y在x=$\frac{1}{e}$处取得极小值，且为最小值．
而数列{a_n}递增，且a₃=$\frac{1}{4}$；a₄=$\frac{3}{8}$，
由|a₃-$\frac{1}{e}$|＞|a₄-$\frac{1}{e}$|，
故数列{b_n}的最小项是第四项．
故选：B．

点评 本题考查了数列最小项的求法，考查数列的递推式和等比数列的通项公式的运用，考查转化思想的运用，考查了计算能力，属于中档题．