Question

14．已知向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$满足|$\overrightarrow{a}$|=10，|$\overrightarrow{b}$|=3，且向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为120^°．求：
（1）（2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）•（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）；
（2）|$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow{b}$|．

Answer 1

分析 （1）由条件利用两个向量的数量积的定义，求得 $\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$ 的值，可得（2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）•（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$） 的值．
（2）根据条件以及|$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{{（\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}）}^{2}}$，计算求得结果．

解答 解：（1）∵|$\overrightarrow{a}$|=10，|$\overrightarrow{b}$|=3，且向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为120^°，
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=10•3•cos120°=-15，
∴（2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）•（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）=2${\overrightarrow{a}}^{2}$-$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$-${\overrightarrow{b}}^{2}$=200+15-9=206．
（2）|$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{{（\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}）}^{2}}$=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}+6\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+{9\overrightarrow{b}}^{2}}$=$\sqrt{91}$．

点评 本题主要考查两个向量的数量积的定义，求向量的模，属于基础题．