Question

曲线y=2x⁴上的点到直线y=-x-1的距离的最小值为（　　）

• A、

  2

• B、

  2

  2

• C、

  2

  3

• D、

  5 2

  16

Answer 1

考点：点到直线的距离公式

专题：导数的概念及应用,空间位置关系与距离

分析：将问题转化为曲线与直线平行的切线和直线的距离；利用导函数的几何意义求出曲线与已知直线平行的切线；利用两条平行线的距离公式求出距离的最小值

解答： 解：曲线y=2x⁴上一点到直线y=-x-1的距离的最小值可转化为曲线与直线平行的切线和直线的距离
y′=8x³
令8x³=-1，解得x=-

1

2

．
∴y=2×(-

1

2

)4=

1

8

．
∴切点A（-

1

2

，

1

8

）．y-

1

8

=-(x+

1

2

)．
即x+y+

3

8

=0．
又y=-x-1即为x+y+1=0，
∴最小距离为d=

1- 3 8

2

=

5 2

16

．
∴曲线y=2x⁴上的点到直线y=-x-1的距离的最小值为

5 2

16

．
故选：D．

点评：本题考查等价转化的数学方法、导数的几何意义：函数在切点处的导数值是曲线的切线斜率、两平行线的距离的公式，属于中档题．