Question

已知函数f（x²-3）=log_a

x2

6-x2

（a＞1且a≠1）．
（1）求函数f（x）的解析式及其定义域；
（2）判断函数f（x）的奇偶性．

Answer 1

考点：函数解析式的求解及常用方法,函数奇偶性的判断

专题：函数的性质及应用

分析：（1）设t=x²-3，求出f（t）的解析式即得f（x）的解析式，再根据对数的真数大于0，求出f（x）的定义域；
（2）根据函数奇偶性的定义，判断f（x）的奇偶性即可．

解答： 解：（1）∵函数f（x²-3）=log_a

x2

6-x2

=log_a

x2-3+3

3+3-x2

，
设t=x²-3，则f（t）=log_a

t+3

3-t

，
即f（x）=log_a

3+x

3-x

；
令

3+x

3-x

＞0，
解得-3＜x＜3，
∴函数f（x）的定义域为（-3，3）；
（2）∵f（x）=log_a

3+x

3-x

，x∈（-3，3）；
∴任取x∈（-3，3），则
f（-x）=log_a

3-x

3+x

=-log_a

3+x

3-x

=-f（x），
∴函数f（x）是定义域（-3，3）上的奇函数．

点评：本题考查了求函数的解析式和定义域的问题，也考查了函数的奇偶性的判断问题，是基础题目．