Question

已知O为坐标原点，P为圆x²+y²=20上的动点，过P作直线l垂直x轴于点Q，点M满足

QP

=

2

QM

（1）求动点M的轨迹C的方程
（2）若直线l：y=x+m（m≠0）与曲线C交于A，B两点，求三角形OAB面积的最大值．

Answer 1

考点：轨迹方程,函数的最值及其几何意义

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）确定坐标之间的关系，利用代入法求动点M的轨迹C的方程
（2）y=x+m代入x²+2y²=20，利用弦长公式求出|AB|，利用点到直线的距离公式求出O到直线l：y=x+m的距离，表示出三角形OAB面积，利用配方法求三角形OAB面积的最大值．

解答： 解：（1）设M（x，y），P（a，b），则Q（a，0），
∵

QP

=

2

QM

，
∴（0，b）=

2

（a-x，-y），
∴a=x，b=-

2

y，
∵a²+b²=20，
∴x²+2y²=20；
（2）y=x+m代入x²+2y²=20，整理可得3x²+4mx+2m²-20=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=-

4

3

m，x₁x₂=

2m2-20

3

∴|AB|=

2

•

16 9 m2- 8m2-80 3

，
∵O到直线l：y=x+m的距离为

|m|

2

，
∴三角形OAB面积为

1

2

×

2

•

16 9 m2- 8m2-80 3

×

|m|

2

=

2

3

•

-m4+30m2

≤

2

3

×15=5

2

，
∴三角形OAB面积的最大值为5

2

．

点评：本题考查曲线方程的求法，考查三角形面积的最大值的求法．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．