Question

设a为函数f（x）=x²+2α

1-x2

+α²-6α+13，设t=

1-x2

．
（1）求t的取值范围并将f（x）表示为关于t的函数g（t）；
（2）求函数g（t）的最大值m，用a表示．

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）由t=

1-x2

可得0≤t≤1；从而求g（t）=1-t²+2at+α²-6α+13=-（t-a）²+2a²-6a+14，t∈[0，1]；
（2）由g（t）=-（t-a）²+2a²-6a+14，t∈[0，1]讨论a以确定函数的最大值，从而写出最大值．

解答： 解：（1）t=

1-x2

，则0≤t≤1；
x²=1-t²；
则g（t）=1-t²+2at+α²-6α+13
=-（t-a）²+2a²-6a+14，t∈[0，1]；
（2）g（t）=-（t-a）²+2a²-6a+14，t∈[0，1]；
当a≤0时，g_max（t）=g（0）=a²-6a+14，
当0＜a＜1时，g_max（t）=g（a）=2a²-6a+14，
当a≥1时，g_max（t）=g（1）=α²-4α+13．
故g_max（t）=

a2-6a+14，a≤0 2a2-6a+14，0＜a＜1 a2-4a+13，a≥1

．

点评：本题考查了换元法的应用及分段函数的应用，属于中档题．