Question

在四棱锥P-ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥面ABCD，E为PD之中点，PA=2AB=2
（Ⅰ）求证：CE∥面PAB；
（Ⅱ）求二面角C-PD-A的平面角的正弦；
（Ⅲ）在PC上是否存在点F使得PC⊥面AEF，若存在，说明位置：若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的判定,与二面角有关的立体几何综合题

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）取AD中点F，连接EF、CF，利用三角形中位线，得出EF∥PA，从而EF∥平面PAB．在平面四边形ABCD中，通过内错角相等，证出CF∥AB，从而CF∥平面PAB．最后结合面面平行的判定定理，得到平面CEF∥平面PAB，所以CE∥平面PAB；
（Ⅱ）分别求出S_△PAD=

1

2

•2•4=4，S_△PCD=

1

2

•2

2

•2

3

=2

6

，可得cosα=

4

2 6

=

6

3

，即可求二面角C-PD-A的平面角的正弦；
（Ⅲ）在PC上是存在PC的中点F使得PC⊥面AEF，利用线面垂直的判定定理，即可得出结论．

解答： （Ⅰ）证明：取AD中点F，连接EF、CF
∴△PAD中，EF是中位线，可得EF∥PA
∵EF?平面PAB，PA⊆平面PAB，∴EF∥平面PAB
∵Rt△ABC中，AB=1，∠BAC=60°，∴AC=

AB

cos60°

=2
又∵Rt△ACD中，∠CAD=60°，
∴AD=4，结合F为AD中点，得△ACF是等边三角形
∴∠ACF=∠BAC=60°，可得CF∥AB
∵CF?平面PAB，AB?平面PAB，∴CF∥平面PAB
∵EF、CF是平面CEF内的相交直线，
∴平面CEF∥平面PAB
∵CE⊆面CEF，∴CE∥平面PAB；
（Ⅱ）解：由题意，Rt△PAD中，PA=2，AD=4，S_△PAD=

1

2

•2•4=4．
Rt△PCD中，PC=2

2

，CD=2

3

，S_△PCD=

1

2

•2

2

•2

3

=2

6

．
设二面角C-PD-A的平面角为α，则cosα=

4

2 6

=

6

3

，
∴sinα=

3

3

；
（Ⅲ）解：在PC上是存在PC的中点F使得PC⊥面AEF，证明如下：
∵PA=AC=2，F为PC的中点，
∴PC⊥AF，
∵E为PD之中点，F为PC的中点，
∴EF∥CD，
∵PC⊥CD，
∴PC⊥EF，
∵AF∩EF=F，
∴PC⊥面AEF．

点评：本题给出特殊的四棱锥，求证线面平行、垂直并求二面角C-PD-A的平面角的正弦，着重考查了空间直线与平面平行的判定、垂直的判定与性质等知识，属于中档题．