Question

已知数列{a_n}、{b_n}满足a₁=1，a_n+1=

an

an+2

（n∈N₊），b_n=

1

an

+1．
（1）求证：{b_n}为等比数列，并求{a_n}的通项公式；
（2）求数列{（2n-1）b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件得

1

an+1

+1=2（

1

an

+1），由此能证明{b_n}为首项为2，公比为2的等比数列，所以b_n=

1

an

+1=2n，从而求出a_n=

1

2n-1

．
（2）由（2n-1）b_n=（2n-1）•2ⁿ，利用错位相减法求和法能求出数列{（2n-1）b_n}的前n项和S_n．

解答： （1）证明：∵a₁=1，a_n+1=

an

an+2

，
∴

1

an+1

=

an+2

an

=1+

2

an

，
∴

1

an+1

+1=2（

1

an

+1），
∴

1 an+1 +1

1 an +1

=2，
∵b_n=

1

an

+1，

1

a1

+1=2，
∴{b_n}为首项为2，公比为2的等比数列，
∴b_n=

1

an

+1=2n，
∴

1

an

=2ⁿ-1，∴a_n=

1

2n-1

．
（2）∵（2n-1）b_n=（2n-1）•2ⁿ，
∴S_n=1•2+3•2²+…+（2n-1）•2ⁿ，①
2Sn=1•22+3•23+…+(2n-1)•2n+1，②
①-②，得：-Sn=2+2(22+23+…+2n)-(2n-1)•2n+1
=2+2×

22(1-2n-1)

1-2

-（2n-1）•2ⁿ⁺¹
=-2-（n-2）•2ⁿ⁺¹．
∴Sn=(n-2)•2n+1+2．

点评：本题考查等比数列的证明，考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意错位相减求和法的合理运用．