Question

设数列{a_n}满足S_n=n-a_n（n∈N^*），其中S_n为其前n项和．
（1）求证：数列{a_n-1}是等比数列；
（2）若b_n=（2-n）（a_n-1），且对任意的正整数n，都有b_n+

1

4

t≤t²，求实数t的取值范围．

Answer 1

考点：等比数列的性质,等比关系的确定

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）由S_n=n-a_n（n∈N^*），再写一式，两式相减得2a_n+1-a_n=1，由此能证明数列{a_n-1}是等比数列．
（2）求出b_n=

n-2

2n

，由b_n+1-b_n=

3-n

2n+1

，得到对任意n∈N^*，有b_n≤

1

8

，从而得到

1

8

≤t²-

1

4

t，由此能求出t的取值范围．

解答： （Ⅰ）证明：∵S_n=n-a_n，①
∴S_n+1=n+1-a_n+1，②
②-①，得2a_n+1-a_n=1，
∴a_n+1-1=

1

2

（a_n-1），
又∵a₁=

1

2

，
∴数列{a_n-1}是以-

1

2

为首项，以

1

2

为公比的等比数列．
（Ⅱ）解：∵数列{a_n-1}是以-

1

2

为首项，以

1

2

为公比的等比数列，
∴a_n-1=-

1

2n

，∴a_n=1-

1

2n

，
∵b_n=（2-n）（a_n-1），∴b_n=

n-2

2n

，
由b_n+1-b_n=

3-n

2n+1

＞0，得n＜3，
由b_n+1-b_n=

3-n

2n+1

＞＜0，得n＞3，
∴b₁＜b₂＜b₃=b₄＞b₅＞…＞b_n＞…，
∴b_n有最大值b₃=b₄=

1

8

，
∴对任意n∈N^*，有b_n≤

1

8

，
∵对任意的正整数n，都有b_n+

1

4

t≤t²，
∴（b_n）_max≤t²-

1

4

t，
∴

1

8

≤t²-

1

4

t，
解得t≥

1

2

或t≤-

1

4

，
∴t的取值范围是（-∞，-

1

4

]∪[

1

2

，+∞）．

点评：本题考查等比数列的证明，考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意构造法和等价转化思想的合理运用．