Question

已知f（x）=sin²（2x-

π

4

）-2t•sin（2x-

π

4

）+t²-6t+1（x∈[

π

24

，

π

2

]）其最小值为g（t）．
（1）求g（t）的表达式；
（2）当-

1

2

≤t≤1时，要使关于t的方程g（t）=kt有一个实根，求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的最值

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（1）利用x的范围确定sin（2x-

π

4

），对函数解析式化简整理，对t进行分类讨论，利用抛物线的性质求得每种情况的g（t）的解析式，最后综合．
（2）根据（1）中获得当-

1

2

≤t≤1时g（t）的解析式，令h（t）=g（t）-kt，要使g（t）=kt有一个实根需h（-

1

2

）和h（1）异号即可．

解答： 解：（1）∵x∈[

π

24

，

π

2

]，
∴sin（2x-

π

4

）∈[-

1

2

，1]，
∴f（x）=[sin（2x-

π

4

-t]²-6t+1，
当t＜-

1

2

时，则当sinx=-

1

2

时，f（x）_min=t2-5t+

5

4

；
当-

1

2

≤t≤1时，当sinx=t时，f（x）_min=-6t+1；
当t＞1时，当sinx=1时，f（x）_min=t²-8t+2；
∴g（t）=

t2-5t+ 5 4 ，t∈(-∞，- 1 2 ) -6t+1，t∈[- 1 2 ，1] t2-8t+2，t∈(1，+∞)

（2）当-

1

2

≤t≤1时，g（t）=-6t+1．令h（t）=g（t）-kt．
欲使g（t）=kt有一个实根，则只需使

h(- 1 2 )≤0 h(1)≥0

或

h(- 1 2 )≥0 h(1)≤0

即可．
解得k≤-8或k≥-5．

点评：本题主要考查了抛物线的基本性质，分类讨论思想，分段函数等知识．注意运用数形结合和分类讨论的思想．