Question

某校100名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图，其中成绩分组区间如下：

组号	第一组	第二组	第三组	第四组	第五组
分组	[50，60）	[60，70）	[70，80）	[80，90）	[90，100]

（Ⅰ）求图中a的值；
（Ⅱ）根据频率分布直方图，估计这100名学生期中考试数学成绩的平均分；
（Ⅲ）现用分层抽样的方法从第3、4、5组中随机抽取6名学生，将该样本看成一个总体，从中随机抽取2名，求其中恰有1人的分数不低于90分的概率？

Answer 1

考点：分层抽样方法,频率分布直方图

专题：概率与统计

分析：（1）根据所以概率的和为1，即所求矩形的面积和为1，建立等式关系，可求出所求；
（2）均值为各组组中值与该组频率之积的和；
（3）先分别求出3，4，5组的人数，再利用古典概型知识求解．

解答： 解：（Ⅰ）由题意得10a+0.01×10+0.02×10+0.03×10+0.035×10=1，所以a=0.005．…（3分）
（Ⅱ）由直方图分数在[50，60]的频率为0.05，[60，70]的频率为0.35，[70，80]的频率为0.30，
[80，90]的频率为0.20，[90，100]的频率为0.10，所以这100名学生期中考试数学成绩的平均分的估计值为：55×0.05+65×0.35+75×0.30+85×0.20+95×0.10=74.5
…（6分）
（Ⅲ）由直方图，得：
第3组人数为0.3×100=30，
第4组人数为0.2×100=20人，
第5组人数为0.1×100=10人．
所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，

每组分别为：
第3组：

30

60

×6=3人，
第4组：

20

60

×6=2人，
第5组：

10

60

×6=1人．
所以第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人．…（9分）
设第3组的3位同学为A₁，A₂，A₃，第4组的2位同学为B₁，B₂，第5组的1位同学为C₁，则从六位同学中抽两位同学有15种可能如下：
（A₁，A₂），（A₁，A₃），（A₁，A₃），（A₂，A₃），（A₁，B₁），（（A₁，B₂），（A₂，B₁），（A₂，B₂），（A₃，B₁），（A₃，B₂），（A₁，C₁），（A₂，C₁），（A₃，C₁），（B₁，C₁），（B₂，C₁），
其中恰有1人的分数不低于9（0分）的情形有：（A₁，C₁），（A₂，C₁），（A₃，C₁），（B₁，C₁），（B₂，C₁），共5种．…（13分）
所以其中第4组的2位同学至少有一位同学入选的概率为

5

15

=

1

3

…（14分）

点评：本题主要考查频率分布直方图，平均数的求法和古典概率．