Question

已知等式|x-2|＞1的解集与关于x的不等式x²-ax+b＞0的解集相等．
（I）求实数a，b的值；
（Ⅱ）求函数f（x）=a

x-3

+b

4-x

的最大值．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法,函数的最值及其几何意义

专题：不等式

分析：（Ⅰ）求出不等式|x-2|＞1的解集，即得不等式x²-ax+b＞0的解集，利用一元二次方程根与系数的关系求出 a和b的值，
（Ⅱ）根据柯西不等式即可求出最大值．

解答： 解：（Ⅰ）由不等式|x-2|＞1可得 x-2＞1 或x-2＜-1，解得x＞3 或x＜1，
故不等式|x-2|＞1的解集为{x|x＞3 或x＜1 }，
即不等式x²-ax+b＞0的解集为{x|x＞3 或x＜1 }．
∴1，3为方程x²-ax+b=0的两根，
∴3+1=a，3×1=b，
∴a=4，b=3，
（Ⅱ）函数f（x）=4

x-3

+3

4-x

的定义域为[3，4]，
由柯西不等式得f²（x）=（4

x-3

+3

4-x

）²≤（16+9）（x-3+4-x）=25，
又f（x）＞0，
∴f（x）≤5，当且仅当4

x-3

=3

4-x

，即x=

91

25

时，f（x）=5，
∴函数f（x）=a

x-3

+b

4-x

的最大值为5．

点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，一元二次方程根与系数的关系，以及柯西不等式，属于中档题．