Question

8．如下图（1）所示，已知正方形AMCD的边长为2，延长AM，使得M为AB中点，连结AC．现将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D-ABC，如图（2）所示．
（1）求证：BC⊥平面ACD；    （2）求几何体D-ABC的体积．

Answer 1

分析 （1）由已知求出AC，BC的长，利用勾股定理可得AC⊥BC，再由面面垂直的性质可得BC⊥平面ACD；  
（2）由（1）知BC⊥平面ACD，然后利用等积法即可求得几何体D-ABC的体积．

解答 证明：（1）由图（1）可知，$AC=BC=2\sqrt{2}$，AB=4，
∴AC²+BC²=AB²，则AC⊥BC，
又∵平面ADC⊥平面ABC，平面ADC∩平面ABC=AC，BC?平面ABC，
∴BC⊥平面ACD；
解：（2）由（1）可知，BC⊥平面ACD，则BC即为几何体B-ACD的高，
∴${V_{D-ABC}}={V_{B-ACD}}=\frac{1}{3}{S_{△ACD}}•BC=\frac{1}{3}×（\frac{1}{2}×2×2）×2\sqrt{2}=\frac{4}{3}\sqrt{2}$．

点评 本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．