Question

1．已知函数f（x）=|x+a|（a∈R）．
（1）若a=1，解不等式f（x）+|x-3|≤2x；
（2）若不等式f（x）+|x-1|≥3在R上恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）通过讨论x的范围，求出各个区间上的不等式的解集，取并集即可；（2）根据绝对值的性质问题转化为|a+1|≥3即可，求出a的范围即可．

解答 解：（1）依题意，|x+1|+|x-3|≤2x．
当x＜-1时，原不等式化为-1-x+3-x≤2x，解得x≥21，故无解；
当-1≤x≤3时，原不等式化为x+1+3-x≤2x，解得x≥2，故2≤x≤3；
当x＞3时，原不等式化为x+1+x-3≤2x，即-2≤0恒成立．
综上所述，不等式f（x）+|x-3|≤2x的解集为[2，+∞）．（5分）
（2）f（x）+|x-1|≥3?|x+a|+|x-1|≥3恒成立，
由|x+a|+|x-1|≥|a+1|可知，只需|a+1|≥3即可，
故a≥2或a≤-4，即实数a的取值范围为{a|a≥2或a≤-4}．…（10分）

点评 本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，是一道中档题．