Question

14．已知{a_n}是公差不为零的等差数列，a₁=1，且a₁，a₂，a₄成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项；
（2）求数列$\left\{{{2^{a_n}}}\right\}$的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）设{a_n}是公差d不为零的等差数列，运用等比数列的中项的性质，结合等差数列的通项公式，解方程可得d=1，进而得到所求通项公式；
（2）令b_n=2${\;}^{{a}_{n}}$由（1）得b_n=2ⁿ，运用等比数列的求和公式，计算即可得到所求和．

解答 解：（1）设{a_n}是公差d不为零的等差数列，a₁=1，且a₁，a₂，a₄成等比数列，
则a₂²=a₁a₄，即有（1+d）²=1+3d，
解得d=1，
即有a_n=a₁+（n-1）d=1+n-1=n；
（2）令b_n=2${\;}^{{a}_{n}}$由（1）得b_n=2ⁿ，
即数列{b_n}是以2为首项，2为公比的等比数列．
数列$\left\{{{2^{a_n}}}\right\}$的前n项和S_n=$\frac{{b}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}$=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$=2ⁿ⁺¹-2．

点评 本题考查等差数列的通项公式和等比数列中项的性质，考查等比数列的求和公式，以及运算能力，属于中档题．