Question

19．已知数列{a_n}为等差数列，其前n项和为S_n，若a₃+a₅+a₇=$\frac{π}{4}$则sinS₉的值为（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• C． $-\frac{1}{2}$
• D． $-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$

Answer 1

分析 由已知得a₃+a₅+a₇=3a₅=$\frac{π}{4}$，从而${a}_{5}=\frac{π}{12}$，由等差数列性质得sinS₉=$sin（\frac{9}{2}（{a}_{1}+{a}_{9}））$=sin（9a₅），由此利用三角函数性质能求出结果．

解答 解：∵数列{a_n}为等差数列，其前n项和为S_n，${a_3}+{a_5}+{a_7}=\frac{π}{4}$，
∴a₃+a₅+a₇=3a₅=$\frac{π}{4}$，解得${a}_{5}=\frac{π}{12}$，
∴sinS₉=$sin（\frac{9}{2}（{a}_{1}+{a}_{9}））$=sin（9a₅）=sin（9×$\frac{π}{12}$）=sin$\frac{3π}{4}$=sin$\frac{π}{4}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故选：B．

点评 本题考查正弦函数值的求法，有机地把数列、三角函数知识结合在一起，是一道好题．