Question

已知函数f（x）=lg（kx+1）（k∈R）．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）若函数f（x）在[-10，﹢∞）是单调增函数，求k的取值范围．

Answer 1

考点：函数单调性的性质,函数的定义域及其求法

专题：导数的概念及应用

分析：（1）根据对数要求真数为正得kx+1＞0，求解函数的定义域，注意对k进行分类讨论；
（2）[-10，﹢∞）为函数的单调区间，必为定义域的子集，则k≥0，分k=0和k＞0，进行讨论，然后利用同增异减验证复合函数的单调性．

解答： 解；（1）要是函数有意义，则必有kx+1＞0，
若k=0，则1＞0，显然成立，函数定义域为R，
若k＞0，则x＞-

1

k

，函数定义域为（-

1

k

，+∞），
若k＜0，则x＜-

1

k

．函数定义域为（-∞，-

1

k

）；
（2）[-10，﹢∞）必为定义域的子集，则k≥0，
当k=0时，函数f（x）=lg1=0，为常函数，不单调，舍去，
当k＞0时，[-10，﹢∞）⊆（-

1

k

，+∞），
即-

1

k

≤-10，解之得，0＜k≤

1

10

，
此时根据复合函数的单调性，则函数f（x）=lg（kx+1）在[-10，﹢∞）是单调增函数．
则k的取值范围是0＜k≤

1

10

．

点评：本题考察函数定义域的求法以及复合函数的单调性，注意分类讨论．