Question

已知函数f（x）=x²+（2+lga）x+lgb，且f（-1）=-2，如果对于一切实数x都有f（x）≥2x，求实数a，b的值．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：计算题,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：由f（-1）=-2，求得a=10b，再由对于一切实数x都有f（x）≥2x，整理，得到x²+lg（10b）x+lgb≥0恒成立，则有判别式△=lg²（10b）-4lgb≤0，解不等式即可得到a，b的值．

解答： 解：函数f（x）=x²+（2+lga）x+lgb，且f（-1）=-2，
则1-（2+lga）+lgb=-2，即有lga-lgb=1即a=10b，
由于对于一切实数x都有f（x）≥2x，
则x²+lg（10b）x+lgb≥0恒成立，
则有判别式△=lg²（10b）-4lgb≤0，
即（lgb-1）²≤0，但（lgb-1）²≥0，则lgb-1=0，解得，b=10，
则a=100．
故a=100，b=10．

点评：本题考查二次函数的图形和性质，考查二次不等式恒成立问题，注意结合二次函数的性质，考查运算能力，属于中档题．