Question

函数f（x）=lnx-ax²（a∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当a=

1

8

时，证明：存在x₀∈（2，+∞），使f（x₀）=f（1）．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：计算题,证明题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）先求函数f（x）=lnx-ax²的定义域为（0，+∞）；再求导f′（x）=

1

x

-2ax=

-2ax2+1

x

；根据导数的正负讨论函数的单调性；
（Ⅱ）可证明f（x）在（2，+∞）上是减函数，且f（2）=ln2-

1

2

＞0，x→+∞时，f（x）→-∞；从而证明．

解答： 解：（Ⅰ）函数f（x）=lnx-ax²的定义域为（0，+∞）；
∵f′（x）=

1

x

-2ax=

-2ax2+1

x

；
∴①当a≤0时，f′（x）＞0，
函数f（x）的单调增区间为（0，+∞）；
②当a＞0时，f′（x）＞0时有0＜x＜

2a

2a

，
f′（x）＜0时有x＞

2a

2a

；
函数f（x）的单调增区间为（0，

2a

2a

），单调减区间为（

2a

2a

，+∞）；
（Ⅱ）证明：当a=

1

8

时，f（x）=lnx-

1

8

x²，
f（1）=0-

1

8

=-

1

8

；
f′（x）=-

(x+2)(x-2)

4x

；
故f（x）在（2，+∞）上是减函数，
又∵f（2）=ln2-

1

2

＞0，且x→+∞时，f（x）→-∞；
故存在x₀∈（2，+∞），使f（x₀）=f（1）．

点评：本题考查了导数的综合应用，属于中档题．