Question

已知数列{a_n}是公差不为0的等差数列，a₁=

3

2

，数列{b_n}是等比数列，且b₁=a₁，b₂=-a₃，b₃=a₄，数列{b_n}的前n项和为S_n，记点Q_n（b_n，S_n），n∈N^*．
（1）求数列{b_n}的通项公式；
（2）证明：点Q₁、Q₂、Q₃、…、Q_n、…在同一直线l上，并求出直线l方程；
（3）若A≤S_n-

1

Sn

≤B对n∈N^*恒成立，求B-A的最小值．

Answer 1

考点：等比数列的性质,数列与不等式的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，等比数列{b_n}的公比为q，由题意可得

3 2 +2d=- 3 2 q 3 2 +3d= 3 2 q2

，解方程组可得；
（2）由题意可得x=b_n=-3×(-

1

2

)n，y=S_n=1-（-

1

2

）ⁿ，；消去（-

1

2

）ⁿ可得；
（3）令t=S_n-

1

Sn

，由单调性可得t_min=-

7

12

，t_max=

5

6

，由题意可得[-

7

12

，

5

6

]⊆[A，B]，易得B-A的最小值为

17

12

．

解答： 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，等比数列{b_n}的公比为q，
则由题意可得

3 2 +2d=- 3 2 q 3 2 +3d= 3 2 q2

，解得

q=- 1 2 d=- 3 8

或

q=-1 d=0

，
∵数列{a_n}是公差不为0的等差数列，∴q=-

1

2

，
∴数列{b_n}的通项公式b_n=-3×(-

1

2

)n；
（2）∵Q_n（b_n，S_n），∴x=b_n=-3×(-

1

2

)n，
y=S_n=

3 2 [1-(- 1 2 )n]

1-(- 1 2 )

=1-（-

1

2

）ⁿ，；
∴消去（-

1

2

）ⁿ可得y=

1

3

x+1，
∴点Q₁、Q₂、Q₃、…、Q_n、…在同一直线l：y=

1

3

x+1上；
（3）由（2）可知S_n=1-（-

1

2

）ⁿ，令t=S_n-

1

Sn

，
∵S_n＞0，∴t随着S_n的增大而增大，
当n为奇数时，S_n=1+（

1

2

）ⁿ在奇数集上单调递减，S_n∈（1，

3

2

]，t∈（0，

5

6

]，
当n为偶数时，S_n=1-（

1

2

）ⁿ在偶数集上单调递增，S_n∈[

3

4

，1），t∈[-

7

12

，0），
∴t_min=-

7

12

，t_max=

5

6

，∵A≤S_n-

1

Sn

≤B对n∈N^*恒成立，
∴[-

7

12

，

5

6

]⊆[A，B]，∴B-A的最小值为

5

6

-（-

7

12

）=

17

12

．

点评：本题考查等比数列和等差数列的综合应用，涉及恒成立和函数的单调性及分类讨论的思想，属中档题．