Question

在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为ρsin（

π

6

-θ）=m（m为常数），圆C的参数方程为

x=-1+2cosα y= 3 +2sinα

（α为参数）
（Ⅰ）求直线l的直角坐标方程和圆C的普通方程；
（Ⅱ）若圆心C关于直线l的对称点亦在圆上，求实数m的值．

Answer 1

考点：参数方程化成普通方程

专题：坐标系和参数方程

分析：（Ⅰ）由为ρsin（

π

6

-θ）=m（m为常数），展开可得

1

2

ρcosθ-

3

2

ρsinθ=m，把

x=ρcosθ y=ρsinθ

代入即可得出直线的直角坐标方程；由圆C的参数方程为

x=-1+2cosα y= 3 +2sinα

（α为参数），利用cos²α+sin²α=1可得圆C的普通方程．
（Ⅱ）圆C的圆心C(-1，

3

)，由于圆心C关于直线l的对称点亦在圆上，可得圆心C到直线l的距离为1，利用点到直线的距离公式即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）由为ρsin（

π

6

-θ）=m（m为常数），展开可得

1

2

ρcosθ-

3

2

ρsinθ=m，
∴直线l的直角坐标方程为x-

3

y-2m=0．
由圆C的参数方程为

x=-1+2cosα y= 3 +2sinα

（α为参数），
利用cos²α+sin²α=1可得圆C的普通方程为(x+1)2+(y-

3

)2=4．
（Ⅱ）圆C的圆心C(-1，

3

)，
∵圆心C关于直线l的对称点亦在圆上，
∴圆心C到直线l的距离为1，
∴

|-1- 3 • 3 -2m|

2

=1，
解得m=-1或-3．

点评：本题查克拉极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、点对称、点到直线的距离公式，考查了推理能力与时间内令，属于基础题．