Question

7．已知直线ax-by+8=0（a＞0，b＞0）经过x²+y²+4x-4y=0的圆心，则$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$的最小值为1．

Answer 1

分析 由直线ax-by+8=0（a＞0，b＞0）经过x²+y²+4x-4y=0的圆心，可得a+b=4，则$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$）（a+b）=$\frac{1}{4}$（2+$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}$），再用基本不等式求最小值．

解答 解：∵圆x²+y²+4x-4y=0的圆心坐标是（-2，2），
直线ax-by+8=0过圆心，∴a+b=4，
∴$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$）（a+b）=$\frac{1}{4}$（2+$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}$）≥1，
当b=a=2时取等号．
故$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$的最小值为1，
故答案为1．

点评 本题考查了基本不等式的应用，考查了圆的一般式方程，解题的关键是得出a+b=4．